১. ৫,১০,২৫ এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর?
ক) ৪৫ খ) ৫০ গ) ৬০ ঘ) ১০০
১ম পদ্ধতিঃ প্রথমেই চিন্তা করব প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গুণিতক নিয়ে।
৫ এর কিছু সংখ্যক গুণিতক হলঃ ৫,১০,১৫,২০,২৫,৩০,৩৫,৪০,৪৫,৫০ ইত্যাদি।
১০ এর কিছু সংখ্যক গুণিতক হলঃ ১০,২০,৩০,৪০,৫০,৬০,৭০,৮০,৯০,১০০ ইত্যাদি।
২৫ এর কিছু সংখ্যক গুণিতক হলঃ ২৫,৫০,৭৫,১০০,১২৫,১৫০ ইত্যাদি।
এখন প্রথমে চিন্তা করব ল.সা.গু. শব্দের অর্থ কি? যেটা আমরা প্রথম আলোচনায় জেনেছি ।
অর্থাৎ লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক i.e. সবচেয়ে ছোট সাধারণ (common) গুণিতক.
এখানে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্য থেকে স্পষ্ট বোঝা যাচ্ছে যে সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক সংখ্যাটি হল ৫০
অতএব, নির্ণেয় ল.সা.গু=৫০
উত্তরঃ খ) ৫০
২য় পদ্ধতিঃ এই পদ্ধতিতে প্রথমেই উত্তরের অপশন গুলো নিয়ে চিন্তা করব।
অর্থাৎ প্রশ্নে উল্লিখিত সংখ্যাগুলোকে অপশনে উল্লিখিত সংখ্যাগুলো দ্বারা ভাগ করলে যদি সংখ্যাটি নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তবে সেই সংখ্যাটিই হচ্ছে নির্ণেয় ল.সা.গু.। এখন দেখা গেল প্রশ্নে উল্লিখিত একাধিক বা সবগুলো সংখ্যাই নিঃশেষে বিভাজ্য হচ্ছে তাহলে দেখতে হবে নিঃশেষে বিভাজ্য সবচেয়ে ছোট সংখ্যা কোনটি। যে সংখ্যাটি সবচেয়ে ছোট সেটাই তার নির্ণেয় উত্তর। যদি প্রশ্নে উল্লিখিত কোন সংখ্যায় নিঃশেষে বিভাজ্য নয় অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যা সেক্ষেত্রে সবগুলো সংখ্যার গুণফলই নির্ণেয় ল.সা.গু.।
প্রশ্নটি ছিলঃ ৫,১০,২৫ এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর?
ক) ৪৫ খ) ৫০ গ) ৬০ ঘ) ১০০
ব্যাখ্যাঃ ক) ৪৫ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য কিন্তু অন্য সংখ্যা গুলো দিয়ে নয়।
খ) ৫০ সংখ্যাটি ৫,১০,২৫ প্রতিটি সংখ্যা দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য।
গ) ৬০ সংখ্যাটি ৫,১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য কিন্তু ২৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
ঘ) ১০০ সংখ্যাটি ৫,১০,২৫ প্রতিটি সংখ্যা দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য কিন্তু সবচেয়ে ছোট গুণিতক নয়।
অতএব, নির্ণেয় ল.সা.গু=৫০
২. ৫,৭,১৩ এর ল.সা.গু. কত?
ক) ৩৫ খ) ৪৫৫ গ) ৬৫০ ঘ) ১২৩
যেহেতু প্রতিটি সংখ্যাই মৌলিক তাই তাদের ল.সা.গু. হবে=৪৫৫
১ম পদ্ধতিতে অংকটি বোঝা খুবই সহজ কিন্তু উত্তর দিতে সময় লেগে যাবে তাই ২য় পদ্ধতিটা সবচেয়ে যথোপযুক্ত।
৩. ১৮,২৪,৩০ এর ল.সা.গু. কত?
ক) ১০০ খ) ১২০ গ) ৩৬০ ঘ) ৩৯০
যেহেতু ২য় পদ্ধতিটি ব্যাবহার করলে সময় কম লাগবে তাই ২য় পদ্ধতিটি ব্যাবহার করে পাই;
ক) ১০০ সংখ্যাটি প্রদত্ত কোন সংখ্যা দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
খ) ১২০ সংখ্যাটি ২৪ ও ৩০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য কিন্তু ১৮ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
গ) ৩৬০ সংখ্যাটি ১৮,২৪,৩০ প্রতিটি সংখ্যা দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য ।
ঘ) ৩৯০ সংখ্যাটি ৩০ সংখ্যাটি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য কিন্তু ১৮ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
সুতরাং ৩৬০ সংখ্যাটিই প্রশ্নে উল্লিখিত সবগুলো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
অতএব, নির্ণেয় ল.সা.গু.=৩৬০
উত্তরঃগ)৩৬০
গ.সা.গু নির্ণয়ঃ
৪. ৫,১২৫,২৩০ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর?
ক) ২৫, খ) ৫ গ) ১৫ ঘ) ৬
১ম পদ্ধতিঃ প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গুণনীয়ক নির্ণয় করি।
৫ এর গুণনীয়কঃ ১,৫
১২৫ এর গুণনীয়কঃ ১,৫,৫,৫
২৩০ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৫,২৩
এখন আমরা চিন্তা করব গ.সা.গু. অর্থাৎ গরিষ্ঠ সাধারন গুণনীয়ক বা সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়ক কোনটি।
৫,১২৫,২৩০ এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়ক হলঃ ৫
অতএব নির্ণেয় গ.সা.গু.=৫
২য় পদ্ধতিঃ অপশনে উল্লিখিত উত্তরগুলো নিয়ে চিন্তা করব।
অপশনে উল্লিখিত সংখ্যাগুলো দ্বারা প্রশ্নে উল্লিখিত সংখ্যাগুলোকে ভাগ করলে যদি সংখ্যাটি নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তবে সেই সংখ্যাটিই হচ্ছে নির্ণেয় গ.সা.গু.। এখন একাধিক সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হতে পারে সেক্ষেত্রে সবচেয়ে বড় সাধারণ (Common)গুণনীয়ক অর্থাৎ যে সংখ্যাগুলো দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড় সাধারণ (Common)গুণনীয়ক সংখ্যাই হবে নির্ণেয় গ.সা.গু.। আর যদি দেখা যায় যে কোন সংখ্যা দ্বারাই ভাগ করা যায় না সেক্ষেত্রে বুঝতে হবে নির্ণেয় গ.সা.গু. হবে ১।অর্থাৎ যদি মৌলিক সংখ্যাবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা দিয়ে অংক আসে তাহলেতো ১ ব্যাতীত কোন সংখ্যা দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য হবে না। তাই নির্ণেয় গ.সা.গু. হবে ১।
৪ নং প্রশ্নটি ছিলঃ ৫,১২৫,২৩০ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর?
ক) ২৫, খ) ৫ গ) ১৫ ঘ) ৬
ক) ২৫ দ্বারা ১২৫ নিঃশেষে বিভাজ্য কিন্তু ৫,২৩০ নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
খ) ৫ দ্বারা ৫,১২৫,২৩০ প্রত্যেকটি সংখ্যাই নিঃশেষে বিভাজ্য।
গ) ১৫ দ্বারা কোন সংখ্যাই নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
ঘ) ৬ দ্বারা কোন সংখ্যাই নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
অতএব নির্ণেয় গ.সা.গু.=৫
৫. প্রশ্নঃ ৫,৭,১৩ এর গ.সা.গু. কত?
ক) ৩৫ খ)৭ গ)১৩ ঘ) কোনটিই নয়।
যেহেতু প্রতিটি সংখ্যাই মৌলিক তাই তাদের গ.সা.গু. হবে=১
উত্তর হবে ঘ) কোনটিই নয়।
ল.সা.গু ও গ.সা.গু -২
May 3, 2015 Arithmetic, Mathematics
আজকে অংক করার আগে প্রথমেই আমরা কিছু ব্যাকরণের (অংক ব্যাকরণ বললে ভাল হত) সমার্থক শব্দ সম্পর্কে ধারণা নিয়ে নেই তাহলে অংক করার ক্ষেত্রে খুবই কাজে লাগবে।
May 3, 2015 Arithmetic, Mathematics
আজকে অংক করার আগে প্রথমেই আমরা কিছু ব্যাকরণের (অংক ব্যাকরণ বললে ভাল হত) সমার্থক শব্দ সম্পর্কে ধারণা নিয়ে নেই তাহলে অংক করার ক্ষেত্রে খুবই কাজে লাগবে।
লঘিষ্ঠ = সবচেয়ে ছোট, ন্যূনতম, সর্বনিম্ন, ক্ষুদ্রতম, সবচেয়ে কম।
গরিষ্ঠ = সবচেয়ে বড়, সর্বাধিক, সর্বোচ্চ, বৃহত্তম।
এখন মনে হতে পারে অংকের মধ্যে এগুলো শিখে কি হবে? কারণ এগুলো শব্দ না শিখলে আমরা ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. এর অংকগুলো সঠিকভাবে বুঝতে পারবোনা অর্থাৎ কোন অংকটিকে ল.সা.গু. করতে হবে আর কোন অংকটিকে গ.সা.গু. করতে হবে তা জানতে পারবোনা । এজন্য এ শব্দগুলো জানা ও বোঝা খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
এখন অংকের ক্ষেত্রে বিবেচনা করি,
১. ৫টি ঘণ্টা প্রথমে একত্রে বেজে পরে যথাক্রমে ৬,১২,২৪,৩০ ও ৪০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। ন্যূনতম কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বেজে উঠবে?
ক) ১২০ সেকেন্ড খ)১৮০ সেকেন্ড গ) ২৪০ সেকেন্ড ঘ) ৩২০ সেকেন্ড
উত্তর: ক) ১২০ সেকেন্ড
Explanation: অংক করার ক্ষেত্রে প্রথম কাজ হল প্রশ্নটিকে ভালভাবে পড়া তারপর অংকটির উত্তর দেওয়া এ কথা আমরা সবাই খুব ভালভাবে জানি তারপরেও বলা হল কারণ উপরের শব্দগুলো কোন অংকের মধ্যে ব্যাবহৃত হবে তা বোঝার জন্য।
প্রশ্নের মধ্যে লঘিষ্ঠ কথাটি উল্লেখ নেই কিন্তু লঘিষ্ঠের সমার্থক শব্দ ন্যূনতম আছে সে জন্য অংকটিকে আমরা ল.সা.গু. করলে নির্ণেয় উত্তর পেয়ে যাব।
অতএব প্রশ্নের মধ্যে লঘিষ্ঠ, সবচেয়ে ছোট, ন্যূনতম, সর্বনিম্ন, ক্ষুদ্রতম, সবচেয়ে কম এই শব্দগুলো উল্লেখ থাকলে অংকটিকে ল.সা.গু. করলে আমরা ফলাফল পেয়ে যাব।
একইভাবে প্রশ্নের মধ্যে গরিষ্ঠ, সবচেয়ে বড়, সর্বাধিক, সর্বোচ্চ, বৃহত্তম এই শব্দগুলো উল্লেখ থাকলে অংকটিকে গ.সা.গু. করলে আমরা ফলাফল পেয়ে যাব।
২য় আলোচনাতে আমরা ২য় পদ্ধতিতে অংক করেছিলাম অর্থাৎ উত্তর অপশন ব্যাবহার করে অংক করেছিলাম।
১২০ সংখ্যাটি ৬,১২,২৪,৩০ ও ৪০ প্রতিটি সংখ্যা দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য।
১৮০ সংখ্যাটি ৬,১২,৩০ সংখ্যাগুলো দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য কিন্তু ২৪,৪০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
২৪০ সংখ্যাটি ৬,১২,২৪,৩০ ও ৪০ প্রতিটি সংখ্যা দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য।
৩২০ সংখ্যাটি শুধুমাত্র ৪০ সংখ্যা দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য কিন্তু ৬,১২,২৪,৩০ সংখ্যাগুলো দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
তাহলে দেখা যাচ্ছে যে ১২০ ও ২৪০ সংখ্যা দুটি প্রশ্নে উল্লেখিত সবগুলো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য তাহলে কি উত্তর দুটি সংখ্যায় হবে অবশ্যই না।
১৮০ সংখ্যাটি ৬,১২,৩০ সংখ্যাগুলো দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য কিন্তু ২৪,৪০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
২৪০ সংখ্যাটি ৬,১২,২৪,৩০ ও ৪০ প্রতিটি সংখ্যা দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য।
৩২০ সংখ্যাটি শুধুমাত্র ৪০ সংখ্যা দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য কিন্তু ৬,১২,২৪,৩০ সংখ্যাগুলো দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
তাহলে দেখা যাচ্ছে যে ১২০ ও ২৪০ সংখ্যা দুটি প্রশ্নে উল্লেখিত সবগুলো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য তাহলে কি উত্তর দুটি সংখ্যায় হবে অবশ্যই না।
সেক্ষেত্রে আমরা ২য় আলোচনাতে ফিরে যাব। সেখানে বলা হয়েছিল যে প্রশ্নে উল্লিখিত একাধিক বা সবগুলো সংখ্যাই নিঃশেষে বিভাজিত হচ্ছে তাহলে দেখতে হবে নিঃশেষে বিভাজ্য সবচেয়ে ছোট সংখ্যা কোনটি। যে সংখ্যাটি সবচেয়ে ছোট সেটাই তার নির্ণেয় উত্তর।
অর্থাৎ নির্ণেয় উত্তর: ১২০ সেকেন্ড
এখন উত্তর অপশনে মিনিট, ঘণ্টা থাকতে পারে সেক্ষেত্রে অবশ্যই সেকেন্ডকে মিনিট অথবা ঘণ্টাই তৈরি করে নিতে হবে।
Excercise: ৪টি ঘণ্টা প্রথমে একত্রে বেজে পরে যথাক্রমে ৬,৯,১২,ও ১৫ মিনিট অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। ন্যূনতম কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বেজে উঠবে?
ক) ৩ ঘণ্টা খ) ৪ ঘণ্টা গ) ১২ ঘণ্টা ঘ) ২ ঘণ্টা
ক) ৩ ঘণ্টা
২. দুইটি ড্রামে যথাক্রমে ৮৬৮ লিটার ও ৯৮০ লিটার দুধ আছে।সবচেয়ে কত বড় মাপের পাত্র দ্বারা দুইটি ড্রামের দুধ পূর্ণসংখ্যক বারে মাপা যাবে?
ক) ৩৫ লিটার খ) ৩২ লিটার গ) ২৮ লিটার ঘ) ৬২ লিটার
উত্তরঃ গ) ২৮ লিটার
এখানে প্রশ্নে সবচেয়ে বড় এই কথাটি উল্লেখ আছে অতএব অংকটিকে গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক অর্থাৎ গ.সা.গু. করতে হবে।
তাহলে ৮৬৮ ও ৯৮০ একমাত্র ২৮ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।(২য় পদ্ধতি)
অতএব, নির্ণেয় গ.সা.গু.=২৮
উত্তর: ২৮ লিটার
Excercise: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ৭.২০ মিটার এবং প্রস্থ ৪.৪০ মিটার। সর্বাধিক কোন সাইজের বর্গাকার মার্বেল পাথর দ্বারা ঘরের মেঝে বাঁধানো যাবে, যাতে কোন পাথর ভাজ্ঞা না পরে?
ক) ৪৮ সে.মি. খ) ৪৪ সে.মি. গ) ৪০ সে.মি. ঘ)৭২ সে.মি.
উত্তর: গ) ৪০ সে.মি.
No comments:
Post a Comment