Mathematics- SPEED (বেগ)

Mathematics- SPEED (বেগ)-01

Question-1 :
A boy goes to Dhaka with a speed of 200 km/hr. if he takes 3 hours then the distance is…….

১) একজন বালকের ঢাকা যাওয়ার বেগ ঘন্টায় ২০০ কিলোমিটার । যদি ঢাকা যেতে তার ৩ ঘন্টা লাগে তাহলে ঢাকার দূরত্ব কত?

ক)৬০০ খ)৭৫০ গ)৯০০ ঘ)৫৬০ কি.মি.

ছোট একটি সূত্র মনে রাখলে অংকটি খুব সহজে সমাধান করা যায়।

Ans:
D=ST where D= Distance(দূরত্ব i.e. কতদুর তাকে যেতে হবে বা তার অতিক্রান্ত দূরত্ব বা সে কত পথ যাবে) S=Speed(বেগ বা সে কত দ্রুত চলতে পারে) T= Time(সময়)

(বেগ এর সাথে সময়কে গুন করলে দূরত্ব পাওয়া যাবে)

উপরে উল্লেখিত ব্যাখা হতে জানা যাচ্ছে D=Distance(দূরত্ব) যা বের করতে হবে? T i.e Time(সময়)= 3 hours and S i.e Speed বা বেগ= 200 কি.মি./ঘন্টা।

তাহলে D=ST i.e D= (200*3) কি.মি.

=600 কি.মি. অর্থাৎ দূরত্ব= ৬০০ কিলোমিটার

এখন সময় দেওয়া না থাকলে সে ক্ষেত্রে সময় নির্ণয় করে নিতে হবে।

Question-02:
ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩০০ কিলোমিটার। ঢাকা হতে সকাল ৭ টায় ছেড়ে দিয়ে বিকেল ৩ টায় চট্টগ্রাম পৌঁছে। ট্রেনটির গড় গতি ঘন্টায় কত ছিল?

যেহেতু ট্রেনটি সকাল ৭ টায় যাত্রা করে বিকেল ৩ টায় পৌঁছে অতএব ট্রেনটির মোট সময় লাগে ৮ ঘন্টা।

এখন সুত্রে মান গুলো বসালে উত্তর পাওয়া যাবে।

এখানে দূরত্ব,Distance = ৩০০ কি.মি. এবং সময় অর্থাৎ যা আমরা বের করলাম i.e T=সকাল ৭ টা হতে বিকাল ৩ টা পর্যন্ত বা ৮ ঘন্টা। S i.e Speed বের করতে হবে।

আমরা জানি,

D=ST

বা S=D/T অর্থাৎ বেগ= দূরত্ব/সময়

বা, বেগ=৩০০/৮ কি.মি./ঘন্টা বা, বেগ= ৩৭.৫ কি.মি./ঘন্টা।

এখন কিছু অংকের ক্ষেত্রে কিছু কথা বুঝতে পারলে খুব তাড়াতাড়ি এই সূত্রটি ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

Question-03:
একটি ট্রেন ঘন্টায় ৪৫ কি.মি. বেগে ১০০ মিটার দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি প্লাটফর্ম ৬০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

উত্তরঃ আমরা জানি, D=ST

এ ক্ষেত্রে দূরত্ব হচ্ছে ট্রেনটির দৈর্ঘ্য এবং প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য অতএব D= ১০০+ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য, সময় T= ৬০ সেকেন্ড, এবং বেগ S= ৪৫ কি.মি. i.e ৪৫*১০০০ মিটার=৪৫০০০ মিটার (১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার)

Remember it: প্রতিটি অংকের ক্ষেত্রে এককগুলো খেয়াল রাখতে হবে।

এ জন্য এই অংকটির ক্ষেত্রে কি.মি. থেকে মিটারে রুপান্তর করা হয়েছে।

তাহলে D= ST

বা ১০০+ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য= ৪৫০০০*(৬০/৩৬০০) মিটার ( এক ঘন্টা= ৬০ মিনিট=৩৬০০ সেকেন্ড)

বা ১০০+ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য=২৭০০০০০/৩৬০০ মিটার

বা ১০০+ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য=৭৫০ মিটার

বা ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = (৭৫০-১০০)মিটার

বা ট্রেনটির দৈর্ঘ্য=৬৫০ মিটার

আরো সহজভাবে কিলোমিটার/ঘণ্টা কে মিটার/সেকেন্ড এ প্রকাশ করার সহজ বুদ্ধি হল কিলোমিটার যুক্ত সংখ্যাকে ৫/১৮ দ্বারা গুন করলেই অঙ্কটির মান বের করা সহজ হয়ে যাবে এবং সময় বেচে যাবে।

যেমনঃ ৪৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা=৪৫*৫/১৮ মিটার/ সেকেন্ড

এই অংকটির ক্ষেত্রে যদি আমি D=ST এই সুত্রে প্রয়োগ করি তাহলে অংকটি সহজ হয়ে যাবে।

For this,

D=১০০ + ট্রেনটির দৈর্ঘ্য =(৪৫*৫/১৮)*৬০ মিটার

বা ১০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৪৫*৫*৬০)/১৮

বা ১০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৩৫০০/১৮ মিটার

বা ১০০ + ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৭৫০ মিটার

বা ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৬৫০ মিটার

Answer: 650 মিটার

Mathematics- SPEED (বেগ)- 02

Question- 4:
১২১ মি. ও ৯৯ মি. দীর্ঘ দুইটি ট্রেন যথাক্রমে ৪০ কি.মি.ও ৩২ কি.মি. বেগে বিপরীত দিক থেকে পরস্পরের দিকে আসতে থাকলে কত সময় পরে তারা পরষ্পরকে অতিক্রম করবে?

ক) ১১.৫ সেকেন্ড খ) ১০ সেকেন্ড গ) ১১ সেকেন্ড ঘ) কোনটিই নয়।

Again Remember: যেহেতু answer অপশনে সেকেন্ড দেয়া আছে তাহলে আমাদেরকে অবশ্যই সময়কে সেকেন্ডে পরিনত করতে হবে।সেক্ষেত্রে কিলোমিটার/ঘন্টা কে মিটার/সেকেন্ড এ রুপান্তরিত করতে হবে।

আমরা জানি D=ST বা T=D/S

এখানে দৈর্ঘ্য = ট্রেন দুইটির দৈর্ঘ্য বা, ১২১ মি. + ৯৯ মি.=২২০ মিটার

বেগ = ট্রেনটির দুইটির বেগ বা, ৪০ কি.মি. + ৩২ কি.মি.=৭২ কি.মি. বা ৭২০০০ মিটার

সময় = T বের করতে হবে।

অতএব সময়, T=২২০/(৭২*৫/১৮)

বা সময়, T= ২২০/২০ সেকেন্ড (যেহেতু ৭২*৫=৩৬০ এবং ৩৬০/১৮=২০)

বা সময়, T=১১ সেকেন্ড

উত্তরঃ গ) ১১ সেকেন্ড।

এতক্ষন আমরা জানলাম যে বিপরীত দিকে অতিক্রান্ত দুটি বস্তুর মধ্যে এখন আমরা জানবো যদি দুটি বস্তু একই দিকে গতিশীল কিন্তু একটি বস্তুর গতি অন্য বস্তুর চেয়ে কম তাহলে আমরা কি করতে পারি।

Question- 5:
১৫০ মিটার দীর্ঘ কোন ট্রেন ঘন্টায় ৬৮ কি.মি. বেগে চলে। একই দিকে ৮ কি .মি /ঘন্টা বেগে চলন্ত কোন ব্যাক্তিকে ট্রেনটির অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

ক)৮ সেকেন্ড খ) ১০ সেকেন্ড  গ) ১১ সেকেন্ড  ঘ) ৯ সেকেন্ড

এই অংকটির ক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে যে ট্রেন এবং লোকটির গতি একই দিকে এবং একটি বস্তুর বেগ অন্য বস্তুর বেগের চেয়ে কম তাই বেগ দুটিকে বিয়োগ দিলে সহজ হয়ে যাবে।

সুত্র যেহেতু একটা তাই এখানে আগের সুত্রটিই apply করব।

আমরা জানি,

D=ST

বা T= D/S

তাহলে সময় = T বের করতে হবে

দূরত্ব, D = ১৫০ মিটার,

বেগ, S = (৬৮ কি.মি.-৮ কি.মি.)/ঘন্টা =৬০ কি.মি./ঘন্টা=৬০*৫/১৮ মিটার/সেকেন্ড =৫০/৩ মিটার/সেকেন্ড

(ট্রেন এবং লোকটি একই দিকে গতিশীল তাই বেগ দুটিকে বিয়োগ দিয়ে দিলাম)

এখন T, সময়= D/S বা দূরত্ব/বেগ

তাহলে সময়, T = ১৫০/(৫০/৩)=১৫০*(৩/৫০)

=৪৫০/৫০ সেকেন্ড ( ৩ উল্টে গিয়ে ১৫০ এর সাথে গুন হয়ে যায়)

=৯ সেকেন্ড

Time= 9 sec.(Ans)

Question-6:
২৩০ মিটার দীর্ঘ কোন ট্রেন ঘন্টায় ৯১ কি.মি. বেগে চলে। একই দিকে ৫৫ কি .মি /ঘন্টা বেগে চলন্ত কোন গাড়ীকে ট্রেনটির অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

ক)২৩ সেকেন্ড খ) ২৪ সেকেন্ড  গ) ২৫ সেকেন্ড  ঘ) কোনটিই নয়।

Answer: We Know that,

D=ST

or, T=D/S……………………(i)

or, Time=Distance/Speed (সময় = দূরত্ব/বেগ)

where D=230 m.

S=(91 k.m./hr – 55 k.m./hr) =36 km/hr =36*(5/18) m/s =180/18 m/s =10 m/s

Now putting the values of D & S in (i), we get

T=230/10   sec.

=23 sec.

Some Exercises:

১) ১৫১ মি. ও ৭৯ মি. দীর্ঘ দুইটি ট্রেন যথাক্রমে ৪৮ কি.মি.ও ৩২ কি.মি. বেগে বিপরীত দিক থেকে পরস্পরের দিকে আসতে থাকলে কত সময় পরে তারা পরষ্পরকে অতিক্রম করবে?

ক) ১১.৫ সেকেন্ড খ) ১০ সেকেন্ড গ) ১১ সেকেন্ড ঘ)কোনটিই নয়।

উত্তরঃ ঘ)

২) ৩৬০ মিটার দীর্ঘ কোন ট্রেন ঘন্টায় ৭১ কি.মি. বেগে চলে। একই দিকে ১৭ কি .মি /ঘন্টা বেগে চলন্ত কোন ব্যাক্তিকে ট্রেনটির অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

উত্তরঃ খ)

ক) ২২ সেকেন্ড খ) ২৪ সেকেন্ড গ) ২৬ সেকেন্ড ঘ) ২৮ সেকেন্ড

৩) ১৯০ মি. ও ১৩৫ মি. দীর্ঘ দুইটি ট্রেন যথাক্রমে ৩৮ কি.মি.ও ৫২ কি.মি. বেগে বিপরীত দিক থেকে পরস্পরের দিকে আসতে থাকলে কত সময় পরে তারা পরষ্পরকে অতিক্রম করবে?

ক) ১৩ সেকেন্ড খ) ২৩ সেকেন্ড গ) ২৭ সেকেন্ড ঘ) ১৭ সেকেন্ড

উত্তরঃ ক)

Mathematics- SPEED (বেগ)- 3

আমরা জেনেছি যে দুটি ট্রেন একই সময়ে যাত্রা শুরু করলে কিভাবে অংকটি করতে হবে, এখন আমরা জানব ভিন্ন সময়ে যদি দুটি ট্রেন যাত্রা শুরু করে সেক্ষেত্রে কিভাবে অংকটি করা যাবে তার পদ্ধতিঃ

Question-1:
দুটি ট্রেন যথাক্রমে ঘন্টায় ২০ কি.মি. ও ৩০ কি.মি. বেগে চলছে।যদি ১ম ট্রেনটি এক ঘন্টা আগে যাত্রা শুরু করে তাহলে ২য় ট্রেনটির ১ম ট্রেনটিকে ধরতে কত সময় লাগবে?

ক) ২ ঘন্টা খ) ৩ ঘন্টা গ) ৪ ঘন্টা ঘ) ৫ ঘন্টা

সুত্রটি হলোঃ

T=(F*Time difference)/(S-F) অর্থাৎ এখানে F=১ম বস্তুর গতিবেগ, S=২য় বস্তুর গতিবেগ

Time Difference= দুটি বস্তুর রওনা হবার সময়ের পার্থক্য।

তাহলে আমরা উপরোক্ত প্রশ্ন হতে বুঝি যে,

F=২০ কি.মি./ঘন্টা অর্থাৎ ১ম বস্তুর গতিবেগ,

S=৩০ কি.মি./ঘন্টা অর্থাৎ ২য় বস্তুর গতিবেগ

Time Difference= 1 ঘন্টা

তাহলে নির্ণেয় সময়,T= (20*1)/(30-20)=20/10=2 hrs.

সুতরাং সঠিক উত্তর- ক

Question-2:
ক ঘন্টায় ১০ কি.মি. এবং খ ঘন্টায় ১৫ কি.মি. বেগে একই সময় একই স্থান থেকে রাজশাহীর পথে রওনা হলো। ক ১০.১০ মিনিটের সময় এবং খ ৯.৪০ মিনিটের সময় রাজশাহী পৌঁছল। রওনা হওয়ার স্থান থেকে রাজশাহীর দূরত্ব কত কি.মি.?

ক) ৩০ কি.মি. খ) ২৫ কি.মি. গ) ১৫ কি.মি. ঘ) ২৮ কি.মি.

এই অংকটি করার সময় লক্ষ্য রাখতে হবে যে প্রশ্নে কি চেয়েছে অর্থাৎ কি বের করতে হবে।

Ans: দূরত্ব নির্ণয় করতে গেলে ছোট একটা সুত্র মুখস্ত করে নিইঃ

(দূরত্ব/১ম গতিবেগ)- (দূরত্ব/২য় গতিবেগ)= সময়ের পার্থক্য

(বিয়োগ করার ক্ষেত্রে সবসময় বিয়োগের সুত্র মনে রাখতে হবে অর্থাৎ বড় সংখ্যা থেকে ছোট সংখ্যার বিয়োগ)

তাহলে অঙ্কটির ক্ষেত্রে আমরা পাই,

দূরত্ব কে আমরা সংক্ষেপে একটা চলক বিবেচনা করে ধরি, দূরত্ব = x km

অতএব, x/২০ – x/৩০= ১/২

এখানে হয়ত মনে করছেন ১/২ কোথা থেকে এলো এবং এ জন্য প্রশ্নটাকে ভালভাবে দেখতে হবে।

সময়ের পার্থক্য = (১০.১০-৯.৪০) মিনিট = ৩০ মিনিট = ১/২ ঘন্টা

সুত্রতে মান গুলো বসিয়ে পাই,

x/২০ – x/৩০ = ১/২

বা, (৩x-২x)/৬০ = ১/২

বা, x/৬০= ১/২

বা, ২x=৬০ (বজ্রগুনন করে)

বা, x=৩০

উত্তরঃ ৩০ কি.মি.। সুতরাং সঠিক উত্তর- ক

Question-3:
দুটি বাস ঘন্টায় ২০ কি.মি. বেগে একই সময়ে গাবতলী থেকে আরিচা রওনা হল।সাভার পৌছার পর একটি বাস থেমে গেল।কিন্তু অপর বাসটি চলতে থাকল। আধা ঘন্টা পর থেমে থাকা বাস টি ঘন্টায় ২৫ কি.মি. বেগে চলতে থাকলো। সাভার থেকে কত দূরে বাস দুটি মিলিত হবে?

ক)৮০ কি.মি. খ) ৫০ কি.মি. গ) ৬০ কি.মি. ঘ)৫৫ কি.মি.

Answer:

আমরা জানি,

(দূরত্ব/ ১ম গতিবেগ) – (দূরত্ব / ২য় গতিবেগ)= সময়ের পার্থক্য

x/20-x/25=1/2 [(Distance/1st Speed)- (Distance/ 2nd Speed)= Time Difference)]

or, (5x-4x)/100= 1/2

or, x/100 = 1/2

or, 2x= 100

or, x=50 কি.মি.

or,Distance =50 km

অর্থাৎ ৫০ কি.মি. পরে মিলিত হবে। সুতরাং সঠিক উত্তর- খ।

Question-4:
এক ব্যক্তি তার বাড়ি থেকে সকাল ৮ টায় যাত্রা শুরু করে ২ কি.মি./ঘন্টায় বেগে হাটল এবং ৪৫ মিনিট দেরিতে অফিসে পৌছাল। পরবর্তী দিন সে একই সময়ে যাত্রা শুরু করে ৪ কি.মি./ঘন্টা বেগে হাটল এবং ১৫ মিনিট আগে পৌছাল। তার বাড়ি থেকে অফিসের দূরত্ব কত?

ক)৬ কি.মি. খ) ৪ কি.মি. গ) ৯ কি.মি. ঘ) ১১ কি.মি.

সমাধানঃ প্রশ্ন গুলো থেকে খুব কঠিন মনে হতে পারে but এই অংকগুলো করার জন্য প্রশ্ন বোঝা খুবই জরুরী।

সে জন্য উপরের lecture গুলোর সুত্রগুলো সহ আর একটি সুত্র মনে রাখলে speed এর অংকগুলো করতে আর সমস্যা হবে না।

Last Rule of Speed:

** D/S1-Late=D/S2 +Early

যেখানে, D=Distance যেটা আমরা সব সময় ব্যাবহার করে আসছি।

S1=১ম বেগ=২ কি.মি./ঘন্টা, S2=২য় বেগ=৪ কি.মি./ঘন্টা, late=দেরিতে পৌছার সময়=৪৫ মিনিট=৪৫/৬০ ঘন্টা এবং Early= আগে পৌছার সময়=১৫ মিনিট=১৫/৬০ ঘন্টা

যেহেতু প্রশ্নে বেগ কি.মি./ঘন্টায় দেওয়া আছে অতএব মিনিট কে অবশ্যই ঘন্টা বানাতে হবে।

তাহলে, D/S1-Late Time = D/S2 +Early Time সুত্রটি ব্যাবহার করে পাই,

এখানে Late Time বলতে দেরিতে পৌছানোর সময় এবং Early time বলতে আগে পৌছানোর সময়কে বোঝানো হচ্ছে।

D/২-৪৫/৬০= D/৪ + ১৫/৬০

বা, D=4 km. (calculate it by equation)

আবার এই অংকটিকে উপরের সুত্র ধরে করা যায় যদি সময়ের পার্থক্য জানা যায়।

যেমনঃ আগে পৌছার সময় ১৫ মিনিট এবং পরে পৌছার সময় ৪৫ মিনিট।

তাহলে সময়ের পার্থক্য= ৪৫+ ১৫ মিনিট = ৬০ মিনিট=১ ঘন্টা ( নির্দিষ্ট সময়ের সাথে যোগ-বিয়োগ করলে ৬০ মিনিট পাওয়া যাবে।)

সহজ কথা হলো এরকম অংক আসলে সময় দুটিকে যোগ করে দেয়া ভাল তাহলে তাড়াতাড়ি সমাধান করতে পারবেন। তাহলে সুত্রটি ব্যাবহার করে আমরা পাই,

x/2-x/4=1

or,(2x-x)/4=1

or,x/4=1

or, x=4

দূরত্ব= ৪ কি.মি.

সুতরাং সঠিক উত্তর- খ।

Exercise:
A Man usually walks to his house from his office at a speed of 8 km/hr. It takes him 10 minute longer to walk the same distance at 6 km/hr. what is the distance(in Km)between his house and office?

a) 7  b) 8  c) 6  d)4 km

ans: d) 4 km