সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর অনুক্রম এবং ধারা

অনুক্রম: কতকগু‌লো সংখ্যা বা রা‌শিকে একটি নি‌র্দিষ্ট নিয়মানুসা‌রে ধারাবাহ‌তক সাজা‌নো‌কে অনুক্রম বলে।
পদ: অনুক্রমের প্রতিটি সংখ্যা বা রাশিকে পদ ব‌লে।
ধারা: অনুক্রমের পদ বা সংখ্যাগুলোর সমষ্টিকে ধারা বলে।
সসীম বা শান্ত ধারা : কোন ধারার পদ সংখ্যা সসীম হলে তাকে সসীম বা সান্ত ধারা বলে।
অসীম ধারা : কোন ধারার পদ সংখ্যা অসীম হলে তাকে অসীম ধারা বলে।
সমান্তর ধারা : যে ধারায় কোন পদক্তোর পরবর্তী পদ থে‌কে বি‌য়োগ করলে একই সংখ্যা বা রাশি পাওয়া যায় তাকে সমান্তর ধারা বলে।
গু‌ণোত্তর ধারা : যে ধারার কোন প‌দের সা‌থে তার পরবর্তী প‌দের অনুপাত সর্বদাই সমান হয় তাকে গুণোত্তর ধারা বলে।

প্র‌য়োজনীয় সূত্রাবলি :

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বা r তম পদ : প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হ‌লে, r তম পদ = a+(r-1)d
সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি : একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হ‌লে, তার n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S = n{2a+(n-1)d}/2
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, S = n(n+1)/2
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ব‌র্গের সমষ্টি, S = n(n+1)(2n+1)/6
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি, S = {n(n+1)/2}^2
গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ বা r তম পদ : কোন ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে, r তম পদ = aq^(r-1)
গুণোত্তর ধারার n সখ্যক পদের সমষ্টি, S = a(1-q^n)/(1-q); যেখা‌নে q1

বিসিএস পরীক্ষায় অাসা প্র‌শ্নগুলোর সমাধান :

১। একটি গু‌ণোত্তর অনুক্র‌মের দ্বিতীয় পদটি -48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হ‌লে, সাধারণ অনুপাত কত?
ক। 1/2
খ। – 1/2
গ। 1/4
ঘ। – 1/4 (Ans)
সমাধান : n তম পদ = aq^(n-1)
দ্বিতীয় পদ = aq^(2-1) = aq = -48
a = -48/q ~~~~~ (i)
অাবার, পঞ্চম পদ = aq^(5-1) = 3/4
বা, aq^4 = 3/4
বা, (-48/q)q^4=3/4
বা, -48 q^3 = 3/4
বা, q^3 = – 3/192
বা, q^3 = (-1/4)^3
বা, q = -1/4
অর্থাৎ সাধারণ অনুপাত – 1/4
২। 1^2+2^2+3^2+…..+x^2 এর মান কত?
ক। {x(x+1)(2x+1)}/6 (Ans)
খ। x(x+1)/2
গ। x
ঘ। {x(x+1)/2}^2
৩। 1^2+2^2+3^2+…..+50^2 = কত?
ক। 35725
খ। 42925 (Ans)
গ। 45500
ঘ। 47225
সমাধান: S = {n(n+1)(2n+1)}/6
= {50(50+1)(2×50+1)}/6
= 50x51x101/6
= 42925
৪। log2+log4+log8+ ….. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সম‌ষ্টি কত?
ক। 45log2
খ। 55log2 (Ans)
গ। 65log2
ঘ। 75log2
সমাধান: log2+log4+log8+ …..
= log2+log2^2+log2^3+ ….+log2^10
= 1log2+2log2+3log2+ …..+10log2
= (1+2+3+…….+10)log2
= {10(10+1)/2}log2
= 55log2
৫। 1+2+3+…..+99 =কত?
ক। 4650
খ। 4750
গ। 4850
ঘ। 4950 (Ans)
সমাধান : S = {n(n+1)/2}
= 99(99+1)/2
= 99×50
= 4959